高频外部激励下碳纤维增强塑料（CFRP）梁非共振模态响应的参数分析

1. 引言

工程师将复合材料应用于旋转机械，如涡轮螺旋桨、涡轮叶片、转轴和飞轮。碳纤维增强塑料（CFRP）因其高比强度而广泛用于高性能应用。设计人员通常将涡轮机械分为亚临界和超临界两类。亚临界涡轮在其第一阶弯曲模态以下转速旋转。超临界涡轮则在超过第一阶弯曲模态的频率下运行。此外，超超临界涡轮在高于第3或第4阶弯曲模态振动的频率下运行。此类机器的材料选择成为重要的设计决策。尽管CFRP相对于金属材料具有优势，但其各向异性行为会引入系统非线性。

涡轮的性能取决于其结构和振动特性。超临界机器，特别是超超临界机器中观察到的一个有趣现象是其非线性响应。这种行为可归因于材料或几何非线性。此类非线性在亚临界机器中同样存在，但其对系统行为的影响较不显著。在超超临界机器中，弯曲模态振动频率低于运行频率；机器运行产生的激励可能引发非共振模态相互作用。

在工程应用中，旋转机械部件可能出现高频振动。高频激励和非线性是非共振相互作用的关键因素。当系统表现出几何或惯性非线性时，施加外部高频激励可能导致非共振模态相互作用

本研究考察一根以超超临界转速旋转的柔性涡轮机械轴，该轴具有固有惯性非线性。轴的第一阶弯曲模态振动频率为1.8赫兹。当轴超过第一阶振动模态时，系统正常运行。同样，它顺利通过第二和第三阶弯曲模态而无异常。在34赫兹的旋转频率下，轴开始呈现第一阶弯曲模态特征。该模态的振荡幅值呈指数增长，导致灾难性失效。首要问题是运行频率是否为第一阶振动模态的整数倍。如果不是，为何第一阶弯曲模态被激发？这一问题无法通过机械系统的线性物理理解来回答。

混沌在机械、航空、电气和生物系统中普遍存在。系统中的非线性耦合了线性解耦的模态。由于模态耦合，内共振和模态间能量交换等现象变得明显。为研究这些现象，建立系统的非线性模型至关重要。线性数学模型无法捕捉混沌物理系统的行为。分析混沌的工具包括维数计算、李雅普诺夫指数、频谱分析、分岔图和时序分析。若线性模态可通约或近似可通约，即存在非零整数k_i使得k_1ω_1 + … + k_nω_n ≈ 0，则发生内共振。若激励频率与两个或多个线性固有频率匹配，则可能发生组合共振。

值得注意的是，某些系统表现出非共振响应，将能量从较高模态传递至较低模态。更重要的是，非共振模态相互作用不依赖于相互作用模态频率之间的任何关系。除模态间的大间隔外，此类相互作用的唯一明显标志是响应功率谱中存在非对称边带。功率谱说明了信号功率在不同频率分量上的分布。我们的涡轮轴被激励的激励频率与较低模态之间的距离同样显著，较低模态频率为激励频率的1:18。

现有文献明确表明，缺乏采用联合实验、解析和数值方法来分析非共振模态相互作用下转子动力学的统一而稳健的框架，特别是能够明确识别驱动该行为潜在物理机制的框架。

2. 问题建立

考察涡轮轴的边界条件，我们发现其驱动端仅具有旋转自由度。同时，轴在非驱动端表现出有限的间隙。在我们的实验中，我们将此边界条件替换为具有最小挠度的悬臂梁。为了在实验室环境中研究该现象，我们通过消除梁的旋转来简化问题。主要目标是阐明能量从第三阶模态向第一阶模态传递的机制。如果我们能够理解该现象发生的原因，将能更好地预防该问题或修改结构以解决它。

为进一步简化问题，将圆形截面轴替换为矩形截面梁。这种截面变化防止了面内和面外模态之间的模态相互作用，这两种模态在圆形截面梁中彼此接近。由于这些模态之间的相互作用不是本分析的重点，我们通过改变梁的截面来消除它。与实际情况下机器旋转产生激励相比，实验梁在其基部沿垂直于梁轴的方向受到外部激励。在实际中，残余惯性不平衡量的大小决定了激励幅值，而在实验室实验中，激振器承担这一角色。

3. 实验装置

图1

图1展示了实验装置的示意图。一根细长的CFRP梁垂直安装，由350牛激振器进行谐波驱动。梁的一端连接至激振器，使激励方向垂直于梁的宽度。梁的尺寸如下：长度950毫米，宽度20毫米，厚度2.5毫米。它由8层铺层组成，每层厚0.312毫米，采用Toray T-300碳纤维，铺层顺序为[+45/−45/+45/−45]s。用作单层的LY564环氧树脂质量比为60:40，有效弹性模量为26吉帕，剪切模量为4吉帕，密度为1570千克/立方米。梁的尺寸设计使其前三阶振动模态保持在50赫兹以下，与涡轮轴的模态相似。

图2

图2展示了反馈控制回路的原理框图。加速度计安装在梁的端部，连接至激振器，以确保输入激励测量的一致性。应变片用于测量梁的响应。应变片安装在梁表面加速度计正上方。应变片位置的精心选择至关重要，因为如果安装点位于50赫兹频带内的节点处，读数将可忽略不计。

条件放大器对来自应变片和加速度计的信号进行滤波，然后进行记录。应变片测量值表示梁在应变片安装点处的应变。使用应变片测量振动时，重要的是要理解：在不同振动模态下，相似的应变值并不总是对应于相同的梁尖端挠度。

数据采集与调理设备包括：小野测器DS 3600四通道信号分析仪（日本横滨小野测器）、Brüel & Kjær 4375压电式电荷加速度计、Brüel & Kjær 2635电荷放大器与调理器（带低通滤波器，丹麦奈鲁姆Brüel & Kjær公司）。所用应变片为15EH型Micro Measurements应变片（美国宾夕法尼亚州莫尔文Micro Measurements公司）。应变数据采用NI-9237应变桥模块（美国国家仪器公司，德克萨斯州奥斯汀）采集，如图3所示。

图3

4. 实验结果

动力系统的频响函数（FRF）为其非线性特性提供了关键洞察，包括分岔、多稳定解共存、跳跃不连续性和幅值相关刚度效应。作为诊断的第一步，进行了频响和力响测量以建立系统的基准动态行为。从信号分析仪获得的FRF用于识别结构的线性模态特性。同时，采用欧拉-伯努利梁理论数值计算梁的固有频率，模型中明确包含重力载荷。实验测量与理论预测的模态频率之间观察到高度一致。

为进一步研究与第三阶面内弯曲模态相关的动态响应，进行了频率扫描测试：保持恒定基部激励幅值0.75g，在第三固有频率（31.815赫兹）附近变化激励频率，覆盖30赫兹至33赫兹范围。图4展示了CFRP梁在31.8赫兹下的振荡，呈现出叠加第一阶模态振动的第三阶模态振型。

图4

对于力响应曲线，激励频率恒定为30赫兹，而激励幅值从0g变化至1g。图5和图6分别展示了基于正扫和反扫数据得到的频响曲线和力响应曲线。

图5

图6

从图5可以明显看出，第三阶模态附近不存在结构振动模态。然而，当我们将激励频率扫过第三阶模态时，梁的响应受到其第一阶模态的影响。这表明梁中发生了非共振能量传递。图7展示了梁响应中的多频率振荡，证实了所选梁截面、铺层和材料适用于研究宽间隔模态间的能量传递。

图7

在正扫和反扫过程中均观察到，当第三阶模态以周期性或混沌方式调制时，与第一阶模态相关的频谱分量携带显著能量。此外，当第三阶模态的行为转变为周期性状态时，第一阶模态要么消失，要么呈现可忽略的能量。

第三阶模态调制的慢动态产生一个新频率。该频率源于第三阶模态霍普夫分岔的高频和低频分量（边带）的调制，将被称为霍普夫频率。图8显示了除激励频率外的两个主峰：一个是带边带的第三阶模态，另一个是接近第一阶模态的霍普夫频率。第三阶模态周围边带的非对称性表明存在相位调制。观察到，降低激励频率会使梁运动跳跃至单模态响应。

图8

5结论

通过将超临界旋转轴建模为非旋转的矩形截面悬臂梁，研究了其非共振模态响应。采用实验、数值和解析方法对问题及其关键机制进行了分析。实验观察到，增加外部激励幅值F会导致第三阶模态周围形成边带。此外，更高的激励幅值增大了这些边带之间的间距。第三阶模态的相位调制产生一个低频分量（霍普夫频率），其值等于边带间距。随着边带进一步分离，该低频分量也随之移动。当边带间距与第一阶模态匹配时，该低频分量与第一阶模态发生共振，导致梁的响应组合了第三阶和第一阶模态。

进行了数值模拟，通过与实验结果匹配数据来量化非线性常数D和E的影响。本研究强调了非共振行为对自立方非线性项D的强烈依赖性，而混合立方非线性项E对梁响应的影响明显较弱。在CFRP悬臂梁中，运动方程中的非线性项代表了各向异性层合结构中大挠度和转动引起的几何和运动学效应。二次非线性描述了弯曲-拉伸耦合和偏置平衡状态等对称性破缺机制。相反，立方非线性主要源于中面拉伸以及纤维重新取向和剪切变形引起的幅值相关有效刚度。这些非线性项影响振动测试中观察到的幅值相关频率偏移、模态耦合和能量再分布。

使用多尺度法的解析结果揭示了简化动力系统（α）中系统行为与自立方和混合立方非线性常数D和E之间的关系。系统的相位调制（θ）直接与（α）和外部激励幅值F相关联。幅值调制（a）直接受相位调制（θ）和外部激励F的影响。分岔阈值通过α直接受非线性常数D和E的影响。当前结果表明，从第三阶模态向第一阶模态的能量传递通过第三阶模态的调制实现。第三阶模态的幅值和相位调制在图12的响应频谱中清晰可见，表现为第三阶模态频率周围的边带。

本研究开发了一个分析超超临界CFRP轴非线性行为的框架，整合了用于测试的几何简化、用于计算分析的模态降阶以及用于分岔分类的解析技术。该方法还可扩展以包含层间滑移、纤维-基体分层、微裂纹以及其他影响该非线性行为的物理参数。